結論からいうと、行うことはできません。
Lightsailでのリージョン間VPCピアリングが不可能なのは、次の2点の制限事項があるためです。
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デフォルトVPC固定
LightsailからのVPCピアリングが可能なのは、デフォルトVPCのみです。このVPCは、CIDRがすべてのリージョンで固定されており(172.31.0.0/16)変更することができません。
VPCを再作成してもこの値になるため、デフォルトVPC同士でリージョン間VPCピアリングを行うことはできません。
VPCピアリングのピアリングは不可能
仮に運よくリージョン間VPCピアリングが可能であったとしても、ピアリングのピアリングを行うことはできません。
具体的には、次の図のような接続はできないということです。
あくまでピアリング先VPC内のリソースにアクセスできるだけで、その先のエンドポイントやピアリング先に接続することはできません。Lightsail内にもリージョン間VPCピアリングの項目はないですし、可能であったとしてもCIDR重複により不可能であると思われます。
結論
諦めてパブリックIPで通信しましょう。どうしても諦めきれない場合は、Lightsailの対応範囲を超えているのでEC2への移行を検討する必要があります。
(なお、仮にリージョン間VPCピアリングを行ったとしても、料金面で優遇されることはありません)